傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。信號的一些特性在時域總是表現(xiàn)得不明顯，通過傅里葉算法，將其變換到頻域，其特性就一目了然。

    在計算機系統(tǒng)中，實際上是以離散傅立葉變換(DFT)的方式處理數(shù)據(jù)。由于DFT的運算量比較大，并不適用于嵌入式控制系統(tǒng)，所以實際應用中常使用DFT 的快速算法一快速傅立葉變換(FFT)。雖然FFT 比DFT的計算量減少了很多，但用普通單片機來實現(xiàn)FFT多點、實時運算還是比較困難的。DSP(數(shù)字信號處理器)具有運算速度快和高的特點，恰好滿足FFT的要求，能較好地解決這個問題。

　　數(shù)字信號處理（Digital Signal Processing,簡稱DSP）是一門涉及許多學科而又廣泛應用于許多領域的新興學科。20世紀60年代以來，隨著計算機和信息技術的飛速發(fā)展，數(shù)字信號處理技術應運而生并得到迅速的發(fā)展。數(shù)字信號處理是一種通過使用數(shù)學技巧執(zhí)行轉換或提取信息，來處理現(xiàn)實信號的方法，這些信號由數(shù)字序列表示。在過去的二十多年時間里，數(shù)字信號處理已經(jīng)在通信等領域得到極為廣泛的應用。德州儀器、Freescale等半導體廠商在這一領域擁有很強的實力。其工作原理是接收模擬信號，轉換為0或1的數(shù)字信號。再對數(shù)字信號進行修改、刪除、強化，并在其他系統(tǒng)芯片中把數(shù)字數(shù)據(jù)解譯回模擬數(shù)據(jù)或實際環(huán)境格式。它不僅具有可編程性，而且其實時運行速度可達每秒數(shù)以千萬條復雜指令程序，遠遠超過通用微處理器，是數(shù)字化電子世界中日益重要的電腦芯片。它的強大數(shù)據(jù)處理能力和高運行速度，是值得稱道的兩大特色。

　　1 快速傅里葉變換的原理

    非周期性連續(xù)時間信號x(t)的傅里葉變換可以表示為

    式中計算出來的是信號x(t)的連續(xù)頻譜。但是，在實際的控制系統(tǒng)中能夠得到的是連續(xù)信號x(t)的離散采樣值x(nT)。因此需要利用離散信號x(nT)來計算信號x(t)的頻譜。

    有限長離散信號x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定義為：

    可以看出，DFT需要計算大約N2次乘法和N2次加法。當N較大時，這個計算量是很大的。利用WN的對稱性和周期性，將N點DFT分解為兩個N／2點的 DFT，這樣兩個N／2點DFT總的計算量只是原來的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，這樣可以繼續(xù)分解下去，將N／2再分解為N／4點 DFT等。對于N=2m 點的DFT都可以分解為2點的DFT，這樣其計算量可以減少為(N／2)log2N次乘法和Nlog2N次加法。圖1為FFT與DFT-所需運算量與計算點數(shù)的關系曲線。由圖可以明顯看出FFT算法的優(yōu)越性。

　　Drive Fitness Test 驅動器健康檢測技術，是IBM公司為其PC贏哦俺開發(fā)的數(shù)據(jù)保護技術，它通過使用DFT程序訪問IBM硬盤里的DFT微代碼對硬盤進行檢測，可以讓用戶方便快捷地檢測硬盤的運轉狀況。DFT微代碼可以自動對錯誤事件進行登記，并將登記數(shù)據(jù)保存在硬盤的保留區(qū)域中。DFT微代碼還可以實時對硬盤進行物理分析，如通過讀取伺服位置錯誤信號來計算出盤片交換、伺服穩(wěn)定性、重復移動等參數(shù)，并給出圖形供用戶或技術人員參考。這是一個全新的觀念，硬盤子系統(tǒng)的控制信號可以被用來分析硬盤本身的機械狀況。

    將x(n)分解為偶數(shù)與奇數(shù)的兩個序列之和，即

    x1(n)和x2(n)的長度都是N／2，x1(n)是偶數(shù)序列，x2(n)是奇數(shù)序列，則

    其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N／2點DFT。由
于X1(k)和X2(k)均以N／2為周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示為：

   
    上式的運算可以用圖2表示，根據(jù)其形狀稱之為蝶形運算。依此類推，經(jīng)過m-1次分解，將N點DFT分解為N／2個兩點DFT。圖3為8點FFT的分解流程。

    FFT算法的原理是通過許多小的更加容易進行的變換去實現(xiàn)大規(guī)模的變換，降低了運算要求，提高了與運算速度。FFT不是DFT的近似運算，它們完全是等效的。

　　2 快速傅里葉算法在TMS320LF2407上的實現(xiàn)

    根據(jù)FFT算法的特點，處理器要在一個指令周期內(nèi)完成乘和累加的工作，因為復數(shù)運算要多次查表相乘才能實現(xiàn)。其二就是間接尋址，可以實現(xiàn)增／減1個變址量，方便各種查表方法。再次，F(xiàn)FT變換的輸入序列x(n)是按所謂的碼位倒序排列的，處理器要有反序間接尋址的能力。DSP控制器專門設計了特有的反序間接尋址，并能在一個指令周期內(nèi)完成乘和累加的運算。因此，對數(shù)字信號的分析處理，DSP比其它的處理器有的優(yōu)勢。本文采用TI公司C2000系列TMS320LF2407芯片來實現(xiàn)FFT算法。

    TMS320LF2407定點DSP是一款專為工業(yè)控制、電機控制和數(shù)字信號處理等用途而設計的DSP，具備單周期乘加指令，具有FFT反序間接尋址功能，運行速度為40MIPS。為了充分利用DSP芯片特有的反序間接尋址等功能，F(xiàn)FT算法程序采用匯編語言編寫，主程序采用C語言，因此程序具有良好的兼容性和可擴展性。

    主程序流程圖如圖4所示。系統(tǒng)初始化主要完成DSP的系統(tǒng)控制和狀態(tài)寄存器、等待狀態(tài)發(fā)生器控制寄存器、中斷寄存器等的必要設置。

    本程序采樣函數(shù)為：x=sin(20πt)，采樣頻率為640Hz。

    輸入數(shù)據(jù)波形如圖5所示。一般情況下，我們只關心信號頻域的幅度譜。幅度譜|X(k)|2的計算：X(k)=XR(k)+jX(k)，|X(k)2|=|Xr(k)|2+|Xi(k)|2。FFT計算結果的信號幅度譜|X(k)|2如圖6所示。

    輸入信號頻率是10Hz，根據(jù)公式f=kfs／N，f是原始信號的頻率，k表示峰值出現(xiàn)的位置，fS是采樣頻率，N是計算的點數(shù)，從幅度譜中看出，峰值出現(xiàn)在k=1處，那么，f=1×640／64=10，與原始信號的實際頻率一致，說明計算結果正確。

　　3 快速傅里葉變換（FFT）的應用

　　FFT（Fast Fourier Transformation），即為快速傅氏變換，是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的算法進行改進獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn)，但是對于在計算機系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應用離散傅立葉變換，可以說是進了一大步。

    FFT在生產(chǎn)實踐和科學研究中有著廣泛的應用。圖7為FFT的典型應用方案。下面簡單介紹一下FFT的應用領域。

    (1)頻譜分析。對各類旋轉機械、電機、機床等機器的主體或部件進行實際運行狀態(tài)下的頻譜分析，可以提供設計數(shù)據(jù)和檢驗設計結果，或者找尋震源和診斷故障，保證設備的安全運行等。在聲納系統(tǒng)中，為了尋找海洋水面船只或潛艇，需要對噪聲信號進行頻譜分析，以提供有用信息，判斷艦艇運行速度、方向、位置、大小等。

    (2)濾波。濾波是FFT廣泛的應用，它使對波形的頻率分量濾波變得十分簡單。比如對采樣信號進行FFT后，去掉不需要的頻率分量，再進行FFT反變換，就得到濾波后的期望信號。

    (3)電力監(jiān)控系統(tǒng)的諧波分析。電力監(jiān)控系統(tǒng)的諧波分析，需要對采樣數(shù)據(jù)進行FFT運算，然后通過液晶屏或其它人機界面重新繪畫出來，以方便技術人員掌握電力的質量。

　　4 總結

    實驗證明，此程序在TMS320LF2407定點DSP中運行良好，速度快且運算結果十分可靠，其用于一般的信號處理和工業(yè)控制都能滿足和實時的要求，具有較高的學術價值和良好的應用前景。其次，掌握FFT，學會在空域和頻域中同時思考問題，很多時候可以讓我們使用簡單的方法來解決復雜的問題。