許多領(lǐng)域中經(jīng)常需要辨識(shí)非因果系統(tǒng)。比如地震勘探、通訊和水聲信號(hào)處理等。單靠相關(guān)函數(shù)解決這類非因果系統(tǒng)的盲辨識(shí)問題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因?yàn)樗话到y(tǒng)的相位信息［1］。
　　近年來，基于高階統(tǒng)計(jì)量的系統(tǒng)辨識(shí)方法受到了高度的重視。與傳統(tǒng)的辨識(shí)方法相比較，高階統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)點(diǎn)在于：

    1.可保留系統(tǒng)的相位信息，從而有效地辨識(shí)非相位、非因果系統(tǒng)。

    2.可以抑制加性有色噪聲的影響，提高算法的魯棒性。

    在各種高階統(tǒng)計(jì)量中，計(jì)算相對(duì)簡單的四階統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)榭梢蕴幚韺?duì)稱分布信號(hào)而受到特別重視，成為許多算法的基礎(chǔ)。
　　在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上，本文提出了峰度準(zhǔn)則，并將其應(yīng)用到非因果系統(tǒng)的辨識(shí)中。通過非線性優(yōu)化中的梯度法，本文設(shè)計(jì)了一種AR系統(tǒng)的盲辨識(shí)算法，并證明了它的全局收斂性，給出了算法在平衡點(diǎn)附近的收斂速度。算法通過構(gòu)造逆濾波器的方法來進(jìn)行盲辨識(shí)，同時(shí)通過基于高階累積量的自學(xué)習(xí)算法用逆濾波器的系數(shù)逼近AR系統(tǒng)的參數(shù)。這個(gè)算法可以辯識(shí)非因果系統(tǒng)并且也可用于反卷積或者盲均衡。由于采用了高階累積量，算法對(duì)高斯觀測噪聲有較好的魯棒性。

　　基于峰度準(zhǔn)則的系統(tǒng)辨識(shí)算法
　　
　　設(shè)有一未知的線性時(shí)不變系統(tǒng)H，其輸入序列{u（n）}也未知，我們只觀測到其輸出序列{x（n）},n=0,1,…，N-1，其中N為測量序列的長度。系統(tǒng)模型為

x（n）=u（n）*h（n）+w（n）　（1）

　　其中{w（n）}是量測噪聲。h（n）是未知的線性時(shí)不變系統(tǒng)H的單位脈沖響應(yīng)。
　　對(duì)這個(gè)模型中的信號(hào)特性做如下假設(shè)：
　　（A1）線性時(shí)不變系統(tǒng)H是穩(wěn)定的，但它不一定是相位，也不一定是因果的，它存在一個(gè)穩(wěn)定的逆系統(tǒng)H-1.
　　（A2）{u（n）}是平穩(wěn)的零均值非高斯實(shí)信號(hào)，而且是一個(gè)獨(dú)立同分布信號(hào)，它的m階累積量γm存在，m3.加性噪聲{w（n）}服從高斯分布，其統(tǒng)計(jì)特性未知，且與輸入信號(hào){u（n）}相獨(dú)立。
　　設(shè)對(duì)逆系統(tǒng)H-1的估計(jì)為V，則V的輸出{y（n）}為

y（n）=x（n）*v（n）=u（n）*g（n）+w′（n）　（2）

　　其中w′（n）=w（n）*v（n）仍為一高斯噪聲，g（n）是由下式給出的穩(wěn)定的濾波器

g（n）=h（n）*v（n）　（3）

　　與通常的峰度定義不同，定義信號(hào)x（t）的（規(guī)范化的）峰度K42x為

K42x=c4x（0,0,0）/［c2x（0）］2=γ4x/［σ2x］2　（4）

　　為了克服Shalvi & Weinstein提出的準(zhǔn)則［2］中要求信號(hào)的方差相等的限制，可以把式（4）定義的（規(guī)范化）的峰度值做為準(zhǔn)則函數(shù)，這使它更適合于實(shí)際應(yīng)用環(huán)境定義的準(zhǔn)則函數(shù)為

J（v（n））=|K42y|=|γ4y/（σ2y）2|　（5）

　　需要說明的是，這個(gè)準(zhǔn)則函數(shù)實(shí)際上是Chi & Wu［3］提出的一大類準(zhǔn)則函數(shù)中的一個(gè)特例。他們提出的準(zhǔn)則函數(shù)為：

Jl+s,2s（v（n））=|γl+s,y|2s/|γ2s,y|l+s　（6）

　　其中l(wèi)＞s1.
　　顯然，式（5）是式（6）在l=3,s=1時(shí)的特例。該準(zhǔn)則函數(shù)的有效性在［3］中得到了證明，但本文將證明基于式（5）這個(gè)準(zhǔn)則的算法的全局收斂性和收斂速度。
　　對(duì)于非因果AR系統(tǒng)，其逆濾波器是一個(gè)因果MA系統(tǒng)和一個(gè)反因果MA系統(tǒng)的極聯(lián)，設(shè)這兩個(gè)系統(tǒng)分別為ω（i）和（i）。針對(duì)上面的準(zhǔn)則函數(shù)，可以利用非線性優(yōu)化中的梯度法，得到ω（i）和（i）的自學(xué)習(xí)算法為：

（7）

（8）

　　式中的數(shù)學(xué)期望在實(shí)際應(yīng)用中都由相應(yīng)的均值估計(jì)代替。當(dāng)K42x為正時(shí)，x（t）為所謂超值，保證K42y不斷向正的方向增大；當(dāng)K42x為負(fù)時(shí)，x（t）為亞高斯（Sub-Gaussian）信號(hào)，α取負(fù)值，K42y不斷減小，|K42y|增大。

　　算法的全局收斂性
　　
　　因?yàn)楸疚牟墒欠蔷€性優(yōu)化方法，這就必然涉及到一個(gè)問題：算法收斂到的是全局極值點(diǎn)還是局部極值點(diǎn)？下面的定理表明算法必然收斂到全局極值點(diǎn)。
　　定理：式（7），式（8）的算法的收斂點(diǎn)是全局極值點(diǎn)。
　　證明：根據(jù)輸入和輸出之間高階累積量的關(guān)系，可以把準(zhǔn)則函數(shù)改寫為

J（v（n））=|K42u|∑g4（n）/［∑g2（n）］2　（9）

　　去掉其中與輸入有關(guān)的常數(shù)，可以把目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步簡化為

J（g（n））=∑g4（n）/［∑g2（n）］2　（10）

　　由式（10），得到下列駐點(diǎn)方程

j=1,2,…　（11）

　　由式（11），駐點(diǎn)為g（j）=0或g2（j）=c,其中c=∑g4（i）/∑g2（i）為一常數(shù)。為了便于敘述，定義由駐點(diǎn)gM（j）組成的集合GM,M=1,2,…，即

GM={gM:gM（j）符合式（11），且gM中有M個(gè)非零元素}　（12）

　　由文獻(xiàn)［3］關(guān)于準(zhǔn)則有效性的證明，知道G1是由所有全局極值點(diǎn)組成的集合，下面證明GM，M2是由不穩(wěn)定平衡點(diǎn)（鞍點(diǎn)）組成的集合，即利用本算法不會(huì)收斂到局部極值點(diǎn)。
　　假定∈GM為

（13）

　　其中IM=（k1,…，KM）是一個(gè)有M個(gè)不重復(fù)正整數(shù)的集合。構(gòu)造一個(gè)向量。

（14）

　　它的準(zhǔn)則函數(shù)為

（15）

　　只要ε＞0，上面的不等式就嚴(yán)格成立。也就是說，在的任何小的領(lǐng)域里，總存在使得J（）＞J（），所以∈GM不可能是局部極大值。下面證明它也不是局部極小值。
　　設(shè)kM+1IM，構(gòu)造如下的一個(gè)向量g）

（16）

　　它的準(zhǔn)則函數(shù)為

（17）

　　因?yàn)閏＞ε＞0，上面的不等式嚴(yán)格成立，所以∈GM不可能是局部極小值。
　　綜上所述，∈GM,M2是準(zhǔn)則函數(shù)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。因此按照式（7），式（8）的梯度尋優(yōu)算法收斂到的必然是全局極值點(diǎn)。證畢。
　　上述定理表明，本算法對(duì)任何初始值都不會(huì)收斂到不希望的局部極值點(diǎn)，這無疑是一個(gè)非常可貴的性質(zhì)。本文例2的仿真結(jié)果說明了這一性質(zhì)。

　　算法的收斂速度
　　
　　下面考慮算法的收斂速度。不失一般性，假設(shè)平衡點(diǎn)為（i）=δ（τ），g（i）為偏離平衡點(diǎn)的一個(gè)迭代值。

（18）

　　定義則有，

   

　　≈（1-4ε0）/|1+ε-2ε0|2-1（推導(dǎo)中去掉了分子中ε，ε0所有的二次以上項(xiàng)）
　　≈（1-4ε0）|1-ε+2ε0|2-1
　　≈-2ε（推導(dǎo)中去掉了ε，ε0所有的二次以上項(xiàng)）　（19）

　　由式（18）和（19），得到

　　J（g）-J（）∝‖g-‖2　（20）

　　可見在全局極值點(diǎn)附近，準(zhǔn)則函數(shù)是以平方速度變化的。因此本文提出的基于梯度法尋優(yōu)的學(xué)習(xí)算法在平衡點(diǎn)附近將線性收斂。從下節(jié)例1的圖1和圖2中可以看到在接近收斂點(diǎn)附近，辨識(shí)的各個(gè)參數(shù)都以幾乎相同的斜率收斂到終值。

圖1　反因果部分辨識(shí)過程

圖2　因果部分辨識(shí)過程

　　仿真結(jié)果
　　
　　此處給出兩種典型情況的仿真結(jié)果，在所有仿真中加性觀測噪聲為高斯白噪聲，輸入信號(hào)是指數(shù)分布的隨機(jī)過程（均值為零，λ=1），數(shù)據(jù)長度為3000.學(xué)習(xí)常數(shù)開始時(shí)為0.5，在學(xué)習(xí)過程中逐漸減小為0.1.對(duì)每個(gè)例子均為30次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)。
　　例1.（非因果系統(tǒng)的辨識(shí)）真實(shí)AR模型為

　　它的極點(diǎn)位于-0.0506±j0.6532，-0.6988，和-1.7500±h1.3919，信噪比SNR=10dB辨識(shí)時(shí)取m=5和n=5，即因果MA部分和反因果MA部分分別比實(shí)際模型高兩階和三階。辨識(shí)結(jié)果見表1和表2.

表1　非因果AR系統(tǒng)的因果部分辨識(shí)結(jié)果

	a（1）	a（2）	a（3）	a（4）	a（5）
真實(shí)值	0.8	0.5	0.2	0	0
均值	0.7700	0.4524	0.2375	-0.0296	-0.0041
標(biāo)準(zhǔn)差	0.0654	0.0759	0.0741	0.0492	0.0322

表2　非因果AR系統(tǒng)的反因果部分辨識(shí)結(jié)果

	b（1）	b（2）	b（3）	b（4）	b（5）
真實(shí)值	0.7	0.2	0	0	0
均值	0.6738	0.2015	0.0261	0.0215	0.0019
標(biāo)準(zhǔn)差	0.0812	0.0677	0.0485	0.0419	0.0337

　　圖2和圖3為Monte Carlo實(shí)驗(yàn)中b（i）和a（i）估計(jì)值的變化過程。由圖中可以看到，在經(jīng)過大約18次學(xué)習(xí)后，AR參數(shù)的估計(jì)值就收斂到真實(shí)值。

圖3　g（i）的變化過程

　　例2　（反卷積：回響消除）假設(shè)房間的回響效果可以用以下的3階MA模型表示，它的參數(shù)為h（0）=l,h（l）=0.5,h（2）=0.2,h（3）=0.1.為了減小截?cái)嘈?yīng)，仿真時(shí)取反卷積濾波器的階數(shù)為m=10.設(shè)g（i）=h（i）*a（i）。
　　取反卷積濾波器的初始值為a（1）=1,a（2）=…=a（10）=0，迭代計(jì)算g（i）的結(jié)果如圖3所示。由圖可見，經(jīng)過8次迭代，g（i）就趨近于一個(gè)δ函數(shù)，表示回響得到了很好的消除。其中g(shù)（i）的終值見表3行。它近似為δ（t）。當(dāng)初始值為a（1）=…=a（10）=0.1時(shí)g（i）的終值見表3第二行。它近似為δ（t-4）。兩個(gè)結(jié)果都是全局極值點(diǎn)。這個(gè)結(jié)果說明了算法是全局收斂的。

表3　g（i）的終值

	g（1）	g（2）	g（3）	g（4）	g（5）	g（6）	g（7）	g（8）	g（9）	g（10）
終值	1.196	0.023	0.027	0.016	0.137	-0.01	-0.04	-0.03	-0.04	-0.05
終值	-0.01	-0.02	0.001	0.057	1.296	0.023	0.025	0.023	0.151	-0.02

　　結(jié)論
　　
　　在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上，本文提出了基于二階和四階統(tǒng)計(jì)量的（規(guī)范化）峰度準(zhǔn)則，并設(shè)計(jì)了基于這種準(zhǔn)則的非因果AR系統(tǒng)辯識(shí)算法，這個(gè)算法同時(shí)也可以用于盲反卷積或盲均衡中。與文獻(xiàn)［3］未對(duì)算法作性能分析不同，本文證明了算法不但是全局收斂的，而且在平衡點(diǎn)附近將以線性速度進(jìn)行收斂。仿真的結(jié)果驗(yàn)證了我們的結(jié)論。