原始的 468-4 無源濾波器設(shè)計(jì)
　　快速回顧一下，圖 1 中的網(wǎng)絡(luò)是在 20 世紀(jì) 50 年代開發(fā)的，用于提供阻抗為 600 Ω 的音頻系統(tǒng)所需的頻率響應(yīng)。　　適用于 600 Ω 電路的 468-4 濾波器的無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)

　　圖 1. 468-4 濾波器用于 600 Ω 電路的無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。
　　左側(cè)和右側(cè)分別顯示了源電阻和負(fù)載電阻，但沒有信號源。此電路需要在輸出端使用放大器來補(bǔ)償其顯著的插入損耗。
　　電感電阻的影響
　　規(guī)格的頻率響應(yīng)可能是通過測量原始網(wǎng)絡(luò)來確定的，該網(wǎng)絡(luò)受電感器損耗的影響。
　　該規(guī)范要求電感器的 Q 因數(shù)在 10 kHz 時(shí)超過 200，但由于以下兩個(gè)原因，這并不是一個(gè)充分的規(guī)范：
　　電感器具有串聯(lián)電阻和（如果不是空芯）并聯(lián)損耗電阻，但我們不知道每個(gè)電阻的大小。
　　并聯(lián)損耗與頻率有關(guān)，因此不能完全通過固定電阻器來建模。
　　對電感器的調(diào)查顯示，在最低允許電感器 Q 值為 200 的情況下，串聯(lián)電阻和并聯(lián)電阻之間的損耗分布對頻率響應(yīng)的影響很小，即使在關(guān)鍵的 6 kHz 至 14 kHz 范圍內(nèi)也是如此。對于沒有電阻損耗的理想電感器也是如此。要使并聯(lián)電容產(chǎn)生任何影響，它們必須在納法拉范圍內(nèi)，當(dāng)然，它們不是。
　　電容變化的影響
　　規(guī)范還指出，可能需要調(diào)整 33.06 nF 電容的值以滿足頻率響應(yīng)的指定容差限值。我使用 LTspice 仿真研究了這些影響。將 33.06 nF 電容改變 ±5% 的影響可以忽略不計(jì)（微貝！）。
　　模擬元件變化的影響
　　在仿真中，我們可以在 ± 5% 的容差范圍內(nèi)改變組件。圖 2 繪制了所有網(wǎng)絡(luò)變體的頻率響應(yīng)，其中規(guī)格限值以黃色突出顯示。　　改變元件值對無源網(wǎng)絡(luò) 468-4 音頻噪聲濾波器的頻率響應(yīng)影響不大

　　圖 2.改變元件值對無源網(wǎng)絡(luò) 468-4 音頻噪聲濾波器的頻率響應(yīng)影響不大。

　　如圖 2 所示，頻率響應(yīng)不會隨著組件公差而發(fā)生很大變化，并且所有變體都符合規(guī)格。
　　謹(jǐn)防插值
　　然而，您可能會注意到圖 2 中頻率響應(yīng)曲線中以 11 kHz 為中心的奇怪駝峰。在上一篇文章的模擬和測量中也看到了這個(gè)駝峰。它看起來像是數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，但數(shù)據(jù)是正確的。
　　原因是頻率響應(yīng)規(guī)范中從 10 kHz 到 12.5 kHz 的步長較大，我在模擬中復(fù)制了這一步。頻率步長模擬中這個(gè) 8.1 dB 的步長迫使模擬繪圖工具插入數(shù)據(jù)來繪制曲線。
　　10 kHz 和 12.5 kHz 之間的線性插值在 11 kHz 處產(chǎn)生 4.63 dB 的響應(yīng)，而所有模擬網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)都非常接近 5.30 dB。如果我們在模擬中添加額外的頻率步驟，11 kHz 處的峰值幾乎消失了，如圖 3 所示。　　添加額外的頻率步驟可以減少插值并消除響應(yīng)曲線中的駝峰

　　圖 3.添加額外的頻率步驟可減少插值并消除響應(yīng)曲線中的駝峰。
　　其余的凸起和凹陷是由于頻率響應(yīng)規(guī)范中的舍入效應(yīng)造成的。因此，最好將構(gòu)建和測量的濾波器的結(jié)果與模擬無源網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)進(jìn)行比較，這兩者都具有非常小的舍入誤差。
　　將被動網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃泳W(wǎng)絡(luò)
　　眾所周知，您可以通過將所有組件阻抗除以固定比例因子來“縮放”任何 RLC 網(wǎng)絡(luò)。只要源阻抗和負(fù)載阻抗包含在計(jì)算中，頻率響應(yīng)就不會改變。　　1968 年，倫納德·布魯頓 (Leonard Bruton) 證明，如果比例因子為虛數(shù)（包括j，即負(fù) 1 的平方根），布魯頓變換過程仍然有效。如果我們包括角頻率ω ，它的效果會特別好：　ω=2πF　

 　等式 1.

　　在哪里：
　　f是赫茲頻率。
　　通過虛角頻率縮放電感器
　　我們將所有元件除以比例因子jω。首先檢查阻抗為jωL 的電感的變化。　　杰ω大號杰ω=大號

 　　等式 2.

　　不要被術(shù)語 L 的使用所欺騙。該阻抗與頻率無關(guān)，這意味著它是一個(gè)電阻值為 L 的電阻器。在我們的電路中用電阻器替換電感器將節(jié)省成本！
　　通過虛角頻率縮放電阻
　　現(xiàn)在，讓我們看看當(dāng)我們將電阻除以比例因子jω時(shí)會發(fā)生什么。
　\frac{R}{j \omega} = \frac{1}{j \omega (\frac{1}{R})}
　　等式 3.
　　這將電阻變?yōu)殡娙葜禐?(1/R) 的電容器。您可能會將此值識別為我們原始電阻的電導(dǎo)率 G。
　　通過虛角頻率縮放電容器
　　最后，我們將電容器的阻抗除以比例因子jω。
　　(\frac{1}{j \omega C}) \cdot (\frac{1}{jw}) = -(\frac{1}{\omega^2C})
　　等式 4.
　　這個(gè)結(jié)果看起來不太樂觀。從數(shù)學(xué)上講，這是一個(gè)實(shí)數(shù)阻抗（這里沒有“j”），電壓與電流同相，就像電阻一樣，但它是負(fù)的并且與頻率有關(guān)。
　　它可以稱為頻率相關(guān)負(fù)電阻 (FDNR)，或“D 元件”。這是一種為普通電阻提供能量的有源元件，因此需要電源。幸運(yùn)的是，它可以由運(yùn)算放大器、電阻器和電容器構(gòu)成。
　　使用對偶性來變換電路原理圖
　　如果我們回頭參考圖 1，我們會看到 C3 兩端均未接地。當(dāng)將其轉(zhuǎn)換為 D 元件時(shí)，這將產(chǎn)生一個(gè)真正的問題，因?yàn)檫@將需要一個(gè)浮動電源。在進(jìn)行 Burton 變換之前，我們可以用另一個(gè)數(shù)學(xué)技巧和電路的對偶特性來克服 C3 問題。
　　在這個(gè)“雙重化”的過程中，我們可以通過進(jìn)行以下更改來轉(zhuǎn)換示意圖。
　　電壓源電流源
　　電感電容
　　電阻電導(dǎo)
　　串并聯(lián)
　　電感和電容會改變其性質(zhì)——它們儲存能量的方式以及它們的阻抗隨頻率變化的方式。電阻和電導(dǎo)不會改變其性質(zhì)，因此我們可以以任何一種形式看待它們而不會引入誤差。
　　元件的數(shù)值不會改變，盡管結(jié)果可能包含不切實(shí)際的值（但稍后可以修復(fù)）。生成的示意圖將具有相同的頻率響應(yīng)。
　　如果我們將對偶過程應(yīng)用于圖 1 中的 468-4 濾波器電路，則必須包括源電阻和負(fù)載電阻。這些電阻從 600 Ω 轉(zhuǎn)換為 600 S（西門子）電導(dǎo)，相當(dāng)于 1.667 mΩ 電阻。
　　完成 468-4 濾波器電路上的對偶轉(zhuǎn)換后，將得到圖 4 底部所示的新原理圖。我已在圖 4 頂部復(fù)制了原始電路，以便您可以更輕松地看到對偶轉(zhuǎn)換。

　　圖 4.原始 468-4 音頻噪聲濾波器（頂部）和雙無源網(wǎng)絡(luò)版本（底部）。

　　顯然，由于元件值在納亨、毫歐姆和毫法拉的量級，這是一個(gè)阻抗非常低的網(wǎng)絡(luò)。不用擔(dān)心，我們可以解決這個(gè)問題！
　　使用布魯頓變換縮放組件值
　　現(xiàn)在，我們來談?wù)劻硪粋€(gè)巧妙之處：使用布魯頓變換轉(zhuǎn)換組件值。我們可以引入一個(gè)新因子來將所有組件值縮放到更方便的值。
　　我們首先將 1.667 mS 源和負(fù)載電導(dǎo)轉(zhuǎn)換為 1 nF 的合理電容大小。如前所述，布魯頓變換使用以下公式將電阻轉(zhuǎn)換為電容：
　　\frac{R}{j \omega} = \frac{1}{j \omega G} \rightarrow \frac{1}{j \omega C}
　　等式 5.
　　現(xiàn)在，讓我們計(jì)算比例因子：
　　\text{比例因子} = \frac{C}{G} = \frac{1\text{ E-9}}{1.667\text{ E-3}} = 6.0 \text{ E-11}
　　等式 6.
　　不要擔(dān)心這是一個(gè)非常高的數(shù)字；它只是一個(gè)比例因子。
　　將電阻值除以比例因子即可得到電容值（等效地，將電導(dǎo)值乘以比例因子）。
　　將電容值除以比例因子即可得到 D 值。
　　將電感值乘以比例因子即可得到電阻值。　　圖5是我們對所有電路元件完成布魯頓變換后的電路。

　　布魯頓變換后的網(wǎng)絡(luò)，包括 D 元素
　　圖 5.布魯頓變換后的網(wǎng)絡(luò)，包括 D 元素（點(diǎn)擊放大）。
　　D 元件沒有標(biāo)準(zhǔn)單位名稱，但我們將其稱為布魯頓，并賦予其符號 Br。我們得到的 D 值以飛布魯頓為單位，但沒關(guān)系。我們可以使用合理的元件值從運(yùn)算放大器、電阻器和電容器中制作它們。請注意，它們的阻抗只是具有頻率相關(guān)值的負(fù)電阻，單位為歐姆。
　　負(fù)電阻的廣義阻抗轉(zhuǎn)換器
　　我們將使用廣義阻抗轉(zhuǎn)換器(GIC)創(chuàng)建 D 元件。關(guān)于它們?nèi)绾喂ぷ鞯慕忉屜喈?dāng)冗長且數(shù)學(xué)化（數(shù)學(xué)簡單，但內(nèi)容豐富）。　　GIC原理圖如圖6所示。

　　廣義阻抗轉(zhuǎn)換器示意圖。
　　圖6.廣義阻抗轉(zhuǎn)換器示意圖。
　　GIC 端子之間的阻抗Z由下式給出：
　　Z = \frac{Z1 \times Z2 \times Z3}{Z2 \times Z4} 
　　等式 7.
　　我們需要一個(gè)串聯(lián)鏈中帶有兩個(gè)電容器和三個(gè)電阻器的 GIC，如圖 7 所示。　　帶有元件值的最終 D 元件示意圖

　　圖 7.最終 D 元件示意圖及元件值。
　　我們再次為電容 C1 和 C2 選擇了方便的 1 nF 值。同樣，R1 和 R2 也選擇 10 kΩ（另一個(gè)方便的值）。
　　必須計(jì)算 R3 值，以便為圖 6 示意圖中的兩個(gè) D 元件提供正確的值，使用方法如下：
　　R3_1 = \frac{D_1}{C1 \times C2} = \frac{21.47 \text{ E-15}}{1 \text{ E-9} \times 1 \text{ E-9} } = 21470 \text{ } \Omega 
　　等式 8.
　　和
　　R3_2 = \frac{D_2}{C1 \times C2} = \frac{44.15 \text{ E-15}}{1 \text{ E-9} \times 1 \text{ E-9} } = 44150 \text{ } \Omega
　　等式 9.
　　我們得到的 R3 值與 R1 和 R2 屬于同一數(shù)量級。
　　使用 LTspice 模擬我們的濾波器設(shè)計(jì)
　　我們現(xiàn)在可以使用 LTspice 來模擬我們的濾波器，以檢查它是否按預(yù)期工作。圖 8 顯示了 LTspice 原理圖，其中我還包含了無源濾波器作為參考。

　　

　　圖 8. 468-4 音頻噪聲濾波器的 LTspice 仿真原理圖.
　　原理圖顯示了電阻的精確值，電阻可以由 E12 ±1% 容差電阻的串聯(lián)或并聯(lián)組合而成。我使用 TL07x 運(yùn)算放大器進(jìn)行此模擬。
　　據(jù)稱，這種濾波器實(shí)現(xiàn)方式比使用傳統(tǒng)濾波器部分的實(shí)現(xiàn)方式對元件值的容忍度更高。然而，這個(gè)問題太復(fù)雜了，這里不便深入討論。
　　圖9顯示了模擬結(jié)果。

　　圖 9.模擬響應(yīng)與 468-4 音頻噪聲濾波器參考和指定公差的偏差。

　　顯然，在 10 kHz 以內(nèi)結(jié)果非常好，在 31.5 kHz 以內(nèi)保持在較低的容差范圍內(nèi)，但確實(shí)會下降。這是由于運(yùn)算放大器的帶寬有限。使用更快的運(yùn)算放大器（例如 NE5532）可以獲得更好的結(jié)果，但這些運(yùn)算放大器需要更多的電源電流。
　　關(guān)于電路穩(wěn)定性的警告
　　最終，我決定使用 LM4562 運(yùn)算放大器進(jìn)行硬件設(shè)計(jì)（如下所示）。使用速度更快的運(yùn)算放大器時(shí)，由于復(fù)雜的閉環(huán)配置，其中一個(gè) GIC 可能會變得不穩(wěn)定。
　　使用任何 Spice 或類似的仿真工具時(shí)，強(qiáng)烈建議除了頻域掃描（在 Spice 中稱為 .AC）之外，還要運(yùn)行時(shí)域仿真（在 Spice 中稱為 .TRAN）。.AC 頻率仿真無法檢測到振蕩。內(nèi)部振蕩的一個(gè)很好的指標(biāo)是 .TRAN 仿真運(yùn)行非常緩慢。
　　最終測試：構(gòu)建 468-4 音頻噪聲濾波器
　　關(guān)鍵測試是在現(xiàn)實(shí)世界中構(gòu)建濾波器并測量其性能。圖 10 顯示了用作我之前的寬帶電壓表項(xiàng)目的附加組件的硬件原理圖。

　　圖 10.使用 LM4562 運(yùn)算放大器的 468-4 音頻噪聲濾波器原理圖。
　　本設(shè)計(jì)包含與上一個(gè)音頻噪聲濾波器設(shè)計(jì)中相同的增益調(diào)節(jié)電路。但是，該濾波器的增益變化范圍預(yù)計(jì)較小。
　　圖 11 顯示了真實(shí)電路的頻率響應(yīng)與無源電路的模擬響應(yīng)的對比。偏差剛好可以檢測到，并且只有分貝的一小部分。成功了！　　模擬被動式和測量主動式音頻噪聲濾波器響應(yīng)

　　圖 11.模擬的無源和測量的有源音頻噪聲濾波器響應(yīng)。